循環小数の循環節を求める

応用情報技術者の午後の試験で、循環小数の循環節を求めるのに「ウサギとカメのアルゴリズム」を使ったプログラミングの問題が出題された。
これが、ちょっと面白かったので分数と循環節についてまとめてみました。

まず、有理数は以下のように、ちょうど割り切れる有限小数というものと

1/2 = 0.5
1/125 = 0.008
(※有限小数は、分母が 2 か 5 の約数のみを持つ場合に限られます)

ある桁以降から数字の並びが繰り返し続く無限小数というものに分けられます。

1/3 = 0.333333…(以下 3 が繰り返し続く)
1/7 = 0.14285714285742857…(以下 142857 が繰り返し続く)

今回の問題は、無限小数で繰り返し現れる数字の並び(循環節)が現れる初めの位置と、
循環説の終わりの位置を計算する問題です。(簡単のため分子は常に1とします)

例として、1/108(=0.00925925925…)を計算してみます。

まず、1を10倍して108で割った商(0)を小数第1位に

次にその余り(10)を10倍して108で割った商(0)を小数第2位に

次にその余り(100)を10倍して108で割った商(9)を小数第3位に

次にその余り(28)を10倍して108で割った商(2)を小数第4位に

と計算していきます。

0 ← 1を108で割った商 (余りは 1)

0 ← 上の余り(1) を10倍した数(10)を 108 で割った商(0)、 (余りは 10)

0 ← 上の余り(10) を10倍した数(100)を 108 で割った商(0) (余りは 100) ☆

9 ← 上の余り(100) を10倍した数(1000)を 108 で割った商(9) (余りは 28)

2 ← 上の余り(28) を10倍した数(280)を 108 で割った商(2) (余りは 64)

5 ← 上の余り(64) を10倍した数(640)を 108 で割った商(5) (余りは 100) ☆

9 ← 上の余り(100) を10倍した数(1000)を 108 で割った商(9) (余りは 28)

2 ← 上の余り(28)を10倍した数(280)を 108 で割った商(2) (余りは 64)

☆の行で余りが一致しています。これ以降、商の並びも同じになっています。 
余りの値が、今までに計算した余りと一致すると、それ以降の商の値の並びが同じになり繰り返していることがわかります。

一般的に自然数nで割った余りは 0 ~ n-1 までの整数値なので、割り切れる場合を除くと、割った余りが一致するまでのステップ数は、高々 n-1 回となります。つまり、循環節の長さは n-1 より大きくなり得ません。

循環節を求めるには、今までの計算した余りの値をリストとして覚えておき、新しく計算した余りをリストの中の余りと比較して一致していれば循環節の初めの位置として計算できそうです。

C のプログラムを作成してみました。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
 
// 分数1/nの循環節の位置を求める
void junkan(int n)
{
    int m=1; // 剰余を保持する変数(初期値1)
    int s=0; // 循環節の開始位置
    int t=0; // 循環節の終了位置
    int*list=(int*)calloc(n-1,sizeof(int)); // リストの初期化
    while (true)
    {
        // mが剰余リストにある場合はループ終了
        for(s=0;list[s];s++)
            if(m==list[s])
                goto END;
        // 剰余リストになかった場合は、終端に追加
        list[s]=m;
        // 次の剰余を計算
        m=(m*10)%n;
        // 割り切れる場合はループ終了
        if(m==0)goto END;
        t++;
    }
END:
    free(list); // リストの解放
    printf("n = %d, s = %d, t = %d\n", n, s+1, t); // 結果を出力
}
 
int main()
{
    junkan(108);
    return 0;
}

出力結果
n = 108, s = 3, t = 5

うまく計算できているようです。
この方法では計算した剰余の履歴を保存するために、入力値nに対して n-1 個の整数リストが必要でした。

この方法に対して、「ウサギとカメのアルゴリズム」 という方法があります。
次回この方法についてまとめてみたいと思います。

ウサギとカメのアルゴリズム


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